창의인성                                            ․

2015학년도 교실수업 개선 수업 발표대회

수학과 교수․학습 지도안

교 과	수 학
주 제	종이컵에 담긴 물의 양 ( 삼각형의 외심과 입체의 부피)
일 시	2015.10.19(월) 3교시
대 상	2 - 7반 학생
장 소	4층 수학실
수 업 자	김은실

결재	교사	부장	교감	교장

	진남중학교 http://jinnam-g.ms.kr/

주 제 명	종이컵에 담긴 물의 양 ( 입체의 부피와 삼각형의 외심, 일차함수 그래프의 활용)
적용학년	중학교 2학년 2학기 / 10월
관련교과	수학, 과학 (주제중심, 문제해결 학습)

1. 주제개요

주변에서 쉽게 접할 수 있는 종이컵이라는 소재를 활용하여 교과중심으로 융합한 문제해결학습 형태의 프로그램이다. 1차시에는 종이컵에 들어있는 수학적인 요소를 추출하고 원리를 적용하여 종이컵에 담을 수 있는 물의 양(부피)을 수학적으로 구할 수 있도록 하였다. 2차시에는 종이컵에 실제로 물을 담아 실린더에 측정해봄으로써 실제적인 물의 양(부피)을 구하여 1차시에 구한 부피 값과 비교해 볼 수 있도록 하였다. 또한 수학적으로 구한 부피 값과 실제로 측정한 값이 차이가 난다면 그 차이의 이유에 대해 논의해 볼 수 있도록 하였다.

종이컵에 담긴 물의 양을 수학적인 방법을 이용하여 구해봄으로써 그동안 배웠던 수학적 원리들을 스스로 다시 되새기는 기회인 동시에 수학 학습에 대한 동기를 유발 시키고 문제해결을 하고자 하는 욕구 및 열정 등을 불러일으키도록 도움을 줄 수 있을 것으로 기대된다.

2. 학습 목표

내용 목표

- 수학적 개념과 원리를 활용하여 종이컵에 담긴 물의 부피를 구할 수 있다.

- 물질의 부피에 대해 설명할 수 있다.

- 수학적으로 구한 종이컵에 담긴 물의 부피와 종이컵에 실제로 물을 담아 재본 부피의 차이에 대해 설명할 수 있다.

과정 목표

- 활동에 능동적으로 참여하고 문제해결을 위해 열정을 가지고 노력한다.

- 종이컵에 담긴 물의 양을 구하기 위해 필요한 수학적인 원리와 요소들을 추출할 수 있다.

- 앞서 배운 과학 원리를 이용하여 종이컵에 담긴 실제 물의 부피를 구할 수 있다.

- 실생활 속에서 도형의 성질들을 활용할 수 있는 예들을 찾을 수 있다.

창의적 목표

- 부피를 구하기 위해 가능한 다양한 아이디어를 생성할 수 있다.

- 주어진 길이, 높이가 없는 상황에서 스스로 구해야 하는 것을 알고, 측량하는 방법을 찾을 수 있다.

- 실생활의 상황이 수학적 문제가 될 수 있음을 인식시켜, 주변 사물에 대한 의문을 갖고 수학적으로 질문하려는 성향을 기른다.

인성적 목표

- 상대방의 의견을 인정하며, 모둠원의 결과를 향상시키기 위해 화합할 수 있다.

3. STEAM 과목 요소

○ S : 물질의 특성, 부피의 측정

○ T/E : 자, 컴퍼스, 계산기를 활용하여 필요한 값 구하기,GSP프로그램

○ A：종이컵에 담겨있는 도형을 종이에 표현하기

○ M：일차함수의 그래프, 삼각형의 외심, 도형의 성질, 입체의 부피

4. STEAM 단계 요소

상황제시

세계 보건 기구의 하루 물 권장량은 1.5리터 ~ 2리터라고 한다. 주변에서 흔히 쓸 수 있는 종이컵, 이 컵으로 몇 잔을 마시면 하루 권장량의 물을 먹을 수 있을까? 그래서 지금 우리는 종이컵에 들어가는 물의 양(부피)을 수학적인 원리를 이용하여 구해보려고 한다.

창의적 설계

도형의 성질이나 원리를 이용하여 종이컵의 윗면과 아랫면의 반지름을 구하고 입체의 부피를 활용하여 주어진 문제 해결 방법을 모색한다.

감성적 체험

주변에서 도형의 성질들을 활용하여 높이나 넓이, 부피를 구할 수 있는 물건들을 찾아본다.

5. 본 수업의 특징 (수학적 모델링)

가. NCTM의 수학적 모델링 과정

실세계의 현상		수학적 모델
적용		분석
결론 예측		수학적 결론

나. 김수미(1993)의 수학적 모델링 과정

(1) 문제 이해 단계

(2) 문제의 이상화 단계

(3) 수학적 모델 형성 단계

(4) 수학적 추론 단계

(5) 재해석의 단계

(6) 실제와의 비교 단계

수학은 유용하다는 것을 직접 경험해 보지 않고 수학의 유용성을 인식하게 하거나 현실에 수학을 적절히 응용되기를 바라는 것을 정말 어려운 일이다. (주미경, 1991)

6. 제작 의도

본 프로그램의 주제는 수학적인 개념과 원리들의 활용이다. 일상생활에서 쉽게 쓰고 버리는 종이컵, 주변에서 흔히 보이는 종이컵에 여러 가지 음료수를 담아 마시면서도 본인이 얼마만큼 마셨는지 알고 있는 사람은 없다.

종이컵에 담긴 물의 부피를 수학적 방법을 이용하여 구해보고 실제로 종이컵에 물을 담아 실린더에 재봄으로써 수학적인 원리를 이용해 구한 부피와 실제 담을 수 있는 부피를 비교해 보고 차이가 있다면 그 차이의 이유에 대해 논의해보고자 한다.

실생활에서 흔히 접할 수 있는 사물들에 수학시간에 배우고 있는 수학적인 개념과 원리들이 어떻게 활용할 수 있는지를 보여주고자 하였으며 실제적인 예를 통해 수학에 대한 지식과 원리의 이해를 높이는 수업을 진행하고자 제작하였다.

7. 주제 학습의 연계

학습한 내용		이 단원의 내용		학습할 내용
∎초5~6 원기둥과 원뿔 ∎중① 입체도형의 성질		∎중② 일차함수의 그래프 삼각형의 외심		∎중② 닮은 도형의 성질 ∎중③ 피타고라스 정리 삼각비 원의 성질 ∎ 고② 구분 구적법 적분법

8. 차시별 계획 총괄표

차시	과목	소주제	□□□□□요소 및 학습내용	창의성 요소	인성 요소	준비물
1차시	수학	도형의 성질	□□□□ 종이컵에 담긴 물의 부피를 도형의 성질을 활용하여 구해보기 우리가 하루에 마시는 물의 양은 얼마나 될까? Co 종이컵을 이용해 실제적으로 물을 마셔봄으로써 학생들 스스로 본인이 마신 물의 양을 추측해 보게 한다. ET 종이컵에 담긴 물의 부피를 구하기 위해 필요한 수학적인 요소를 추출하고 수학적 원리를 이용하여 물의 부피 구해보기 CD	호기심 민감성 시각화 융통성 유창성 정교성 비판적 사고	공감 책임 존중 용기 협력 소유 소통	종이컵 물 활동지 자 컴퍼스 계산기
2차시	수학	도형의 성질	□□□□ 수학적으로 구한 물의 부피와 실제로 측정한 물의 부피 비교해 보고 그 차이가 발생한 이유 논의하기 물의 양은 어떻게 잴 수 있을까? Co 과학시간에 배운 지식을 기반으로 물의 양을 실제적으로 측정해보고 지난시간에 구한 수학적인 물의 양을 비교해 본다. CD 그 양에 차이가 있다면 그 이유에 대해 논리적으로 설명해 볼 수 있도록 한다. 주변에서 도형의 성질 활용하여 높이나 넓이, 부피를 구할 수 있는 물건들을 찾아보게 한다. ET	호기심 민감성 시각화 융통성 정교성 비판적 사고	공감 존중 협력 소유 소통	종이컵 물 활동지 실린더 계산기

□ : Science 과학, □ : Technology 기술, □ : Engineering 공학, □ : Art 예술, □ : Math 수학

: Context 상황 제시

Co

: Creative Design 창의적 설계, 주어진 상황에서 창의성, 효율성, 경제성, 심미성을 발현하여 최적의 방안을 찾아 문제를 해결하는 종합적인 과정

CD

: Emotional Touch 감성적 체험, 학습에 대한 긍정적 감정을 하는 것이다. 학습에 대한 흥미 자신감, 지적 만족감, 성취감 등을 느껴 학습에 대한  느끼고 성공의 경험을 동기유발, 욕구, 열정, 몰입의 의지가 생기고 개인적 의미를 발견하여 선순환적인 자기주도적 학습이 가능하게 하는 모든 활동과 경험

ET

9. 지도상의 유의점

가. 호기심을 자극할 수 있도록 생활에 밀접하고 자주 접할 수 있는 것의 부피를 구하게 하고,         현실적인 문제 상황을 제시해야 한다.

나. 부피를 구하기 위해 학생들이 다양한 도구를 사용할 수 있도록 하고 전략이 너무 단순한          경우는 더 정말하게 측정할 수 있도록 자극을 준다.

다. 학생들이 다른 모둠의 전략을 수용하고, 긍정적인 태도로 발표할 수 있도록 유도한다.

라. 학생들이 다른 모둠의 전략을 긍정적으로 수용할 수 있도록 한다.

마. 마무리 활동을 통해 학생들이 찾아낸 내용을 정리한다.

10. 평가 계획

1) 모둠별 평가 계획 (교사)

연번	평가 기준	방법
1	도형의 성질을 이용하여 종이컵의 단면(원)의 반지름을 구했는가?	포트폴리오 (결과보고서) 수리논술 평가
2	도형의 성질을 활용하여 종이컵의 부피를 구했는가?
3	종이컵에 담긴 물의 이론적인 값과 실제 값과의 차이를 논리적으로 설명할 수 있는가?
4	주변에서 도형의 성질을 활용하여 높이나 넓이, 부피를 구할 수 있는 물건들을 찾아보고 그 원리를 설명할 수 있는가?

2) 모둠별 평가 계획 (학생)

∎친구들의 발표를 경청하고, 다음 항목에 따라 평가해 주세요.

∎매우 그렇지 않다(1점)/그렇지 않다(2점)/보통이다(3점)/그렇다(4점)/매우 그렇다(5점)

연번	평가 기준	모둠1	모둠2	모둠3	모둠4	모둠5	모둠6
1	각 모둠에서 구한 부피는 받아들일 수 있는가?
2	측정해야 하는 길이를 측정한 수학적인 근거가 타당한가?
3	부피를 구하기 위한 아이디어가 독창적인가?

11. 차시별 교수학습과정

내가 마신 물의 양은?(본차시)

1차시

과목	수학	수업차시		1 / 2
주제	종이컵에 담긴 물의 양
연계단원	삼각형의 외심, 일차함수 그래프의 활용, 입체의 부피
학습목표	수학의 원리를 활용하여 종이컵에 담긴 물의 양을 구할 수 있다.
학습과정	교수 ‧ 학습 활동		창의성 요소		인성 요소	준비물
도입 (5분)	□ 우리가 하루에 마시는 물의 양은 얼마나 될까? Co 각 모둠별로 주어진 종이컵에 담긴 물의 양의 나름대로의 방법에 의해 물의 양을 추측해 보게 한다. ET		호기심 민감성		공감	종이컵 물
학습활동 (35분)	□□ 종이컵에 담긴 물의 부피를 구하기 위해 필요한 기본 도형 찾기 □□□□ 종이컵에 담긴 물의 부피를 구해보기 종이컵에 담긴 물의 부피를 구하기 위해 필요한 수학적인 요소를 추출하고 수학적 원리와 도형의 성질을 이용하여 물의 부피 구해보기 CD		시각화 융통성 유창성 정교성		책임 존중 용기 협력	활동지 자 컴퍼스 계산기 GSP
마무리 (5분)	학습내용을 정리, 다음 차시 예고 ET		비판적 사고		소유 소통	활동지
지도상의 유의점	1. 호기심을 자극할 수 있도록 생활에 밀접하고 자주 접할 수 있는 것의 부피를 구하게 하고, 현실적인 문제 상황을 제시해야 한다. 2. 부피를 구하기 위해 학생들이 다양한 도구를 사용할 수 있도록 하고 전략이 너무 단순한 경우는 더 정말하게 측정할 수 있도록 자극을 준다. 3. 학생들이 다른 모둠의 전략을 수용하고, 긍정적인 태도로 발표할 수 있도록 유도한다.

학생 활동지

1차시

내가 마신 물의 양은?

진남중학교  2학년 7반   이름 (              )

1. 종이컵에 담긴 물의 부피를 구하기 위해 어떤 정보가 필요한가?

(※종이컵을 이용하여 필요한 도형을 그려보자.)

2. 종이컵에 담긴 물의 부피를 구하는데 필요한 과정을 정리해 보자.

(1) 종이컵에 담긴 물의 부피를 구하는데 필요한 길이는 무엇이고 그 길이는 얼마인가?

(2) 필요한 길이를 측정하기 위해 어떤 방법을 사용하였는가?

(3) 종이컵에 담긴 물의 부피는 얼마인가?(단, [eqn: pi image `3.14]로 계산)

[수학적 모델링]

3. 각 모둠에서 한 발표를 들으면서, 발표한 내용을 간략히 정리해 둡시다.

1 모둠

2 모둠

3 모둠

4 모둠

5 모둠

6 모둠

4. 모둠별 평가 계획

∎친구들의 발표를 경청하고, 다음 항목에 따라 평가해 주세요.

∎매우 그렇지 않다(1점)/그렇지 않다(2점)/보통이다(3점)/그렇다(4점)/매우 그렇다(5점)

연번	평가 기준	모둠1	모둠2	모둠3	모둠4	모둠5	모둠6
1	각 모둠에서 구한 부피는 받아들일 수 있는가?
2	측정해야 하는 길이를 측정한 수학적인 근거가 타당한가?
3	부피를 구하기 위한 아이디어가 독창적인가?

읽기자료

물의 밀도

물의 밀도는 물의 온도가 4℃일 때 가장 크다. 물 분자의 수소 결합은 육각 구조로 되어 있어 그 육각형 사이에 빈 공간이 많이 존재하게 된다. 따라서 수소 결합이 많이 되어 있을수록 밀도가 감소하게 된다. 만약 수소 결합이 적게 되어 있다면 육각형의 빈 공간에 채워져서 밀도가 커진다.

상온(25℃)의 물은 실제로 85%의 물 분자가 수소 결합을 이룬다. 나머지 15%의 물 분자가 수소 결합을 이루지 못하는 것은 온도가 상대적으로 높기 때문에 분자 운동이 활발하여 수소 결합에 참여할 수 없기 때문이다.

온도가 점점 낮아져서 4℃에 이를 동안에 물질의 원래 특성과 같이 온도가 낮아져서 분자 운동이 느려지고, 그것으로 인해 밀도가 증가하여 최고 밀도에 이르게 된다. 하지만 4℃ 이하로 내려가면 점점 더 많은 양의 물 분자가 수소 결합을 이루게 되어 밀도가 작아진다. 그러다가 0℃가 되면 거의 모든 물 분자가 육각 구조의 수소 결합을 이루어 밀도가 급격하게 작아진다. 그 이후 점점 더 온도가 낮아지면 물질의 원래 특성과 같이 밀도가 커진다.

종이컵에 담긴 물의 부피는?

2차시

과목	수학	수업차시		1 / 2
주제	종이컵에 담긴 물의 양
소주제	삼각형의 외심과 입체의 부피
학습목표	도형의 성질을 활용하여 종이컵에 담긴 물의 양을 구할 수 있다.
학습과정	교수 ‧ 학습 활동		창의성 요소		인성 요소	준비물
도입 (5분)	□ 이 종이컵에 실제로 담을 수 있는 물의 양은? Co		호기심 민감성		공감	종이컵 물
학습활동 (35분)	□□□ 지난 시간에 수학적으로 구한 종이컵에 담긴 물의 부피를 각 조별로 발표하고 그 결과 비교해 보기 □□□□ • 종이컵에 담긴 실제 물의 부피를 실린더를 이용하여 재보기 • 실제 부피와 이론적 부피 차가 가장 작은 조의 수학적 수치 확인해 보기 CD 종이컵에 담긴 실제 물의 부피와 본인 조들이 구한 수학적인 부피의 차이의 이유를 논리적으로 설명해 보기		시각화 융통성 정교성		존중 협력	활동지 실린더 계산기
마무리 (5분)	학습내용을 정리 ET		비판적 사고		소유 소통	활동지
지도상의 유의점	1. 조별 활동을 통해 학습지의 질문에 대한 답과 해결방법을 찾는다. 2. 마무리 활동을 통해 학생들이 찾아낸 내용을 정리한다. 3. 학생들이 다른 모둠의 전략을 긍정적으로 수용할 수 있도록 한다.

학생 활동지

2차시

종이컵에 담긴 물의 부피는?

진남중학교  2학년 7반   이름 (              )

1. 실제로 종이컵에 물을 담아 부피를 재보자.

2. 도형의 성질을 이용해 구한 부피와 실제로 잰 부피의 차가 가장 적은 모둠의 결과와 본인 모둠의 결과를 비교해 보아라.

3. 각 모둠이 도형의 성질을 활용해 구한 부피와 실제로 잰 부피의 결과 차이가 있다면 그 이유에 대하여 생각해보자.